El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, xpuede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento hen la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x0 a x0 + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es quek/h es la tangente del ángulo BAC.
Si h tiende hacia 0, para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x0; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva,AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f'(x0) de la función y = f(x) en x0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:
Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos def'(x0) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una función es a su vez otra función f'(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces
por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f'(x) = 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una mconstante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).
Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x0, pues k/h puede no tener un límite cuando h 0; por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada enx0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.
Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) = u(x) + v(x) para todas las x) entonces f' = u' + v'. Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)' = u' -v'. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)' = cu' para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f' = uv' + u'v, y si f = u/v entonces f'= (u'v-uv')/v2 siempre que v(x) 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la función 3x2 - 4x5 es (3x2 - 4x5)' = (3x2)' - (4x5)' = 3·(x2)' - 4·(x5)' = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x) = a0 + a1x + ... + anxn es f'(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f'(x) = u'(v(x))·v'(x). Por ejemplo, si y = ez en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = eax; según la tabla, dy/dz = ez y dz/dx = a, por lo que dy/dx = aeax.
Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y= f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ceax en donde c es una constante. Como e0 = 1, entonces y= c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que eax 0 cuando x crece, por lo que y 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ceax, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace eax si a>0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población
algunos personajes en la historia del calculo y su aporte
- * ARQUÍMEDES Fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad. Usó el método de exhaución para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria de una serie infinita. Dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi . Definió la espiral que lleva su nombre , fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.
- *. FERMAT (1601 – 1665) Co-fundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes. Descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números. Conocido sobre todo por el “último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años.
- *. BARROW (1630 – 1677) Primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa. Inició en cierta manera el Cálculo Moderno
- *. NEWTON (1642 – 1727) Los trabajos sobre la naturaleza de la luz de la óptica fueron aportes en la Física. Comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial que utilizó para formular sus leyes de la física. Desarrolló el teorema del binomio
- *. RIEMANN (1826 – 1866) Su nombre está asociado con la función zeta, la Integral de Riemann, el Lema de Rienman, Las varieddes de Rienmann. Las superficies y la geometría de Rienmann.
- AUTORESCRISTIAN CRUZ LOPEZALEGANDRO ESTEBAN SUAREZ GARCIA
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